Der Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion.

In geometrischer Sprache ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist urprünglich ca. für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion definiert man als die Steigung einer Tangente, die man an den Funktionsgraphen anlegt - wobei dieser Graph in der Regel an verschiedenen Stellen verschiedene Tangenten hat.

In arithmetischer Sprache gibt die Ableitung einer Funktion x→f(x) an, um wieviel sich ein Funktionswert f(x) ändert, wenn sich x um einen "infinitesimal" kleinen Betrag dx ändert.

In einer klassischen physikalische Anwendung liefert die Ableitung des Orts nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit eines Teilchens.

Die Aufgabenstellung der Differentialrechnung war als Tangentenproblem seit der Antike bekannt. Der naheliegende Lösungsansatz war die Approximation der Tangente als Sekante über einem endlichen ("endlich" heißt hier: größer als Null), aber beliebig kleinen Intervall. Die technische Schwierigkeit bestand darin, mit einer solchen infinitesimal kleinen Intervallbreite rechnen zu lernen. Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zu entwickeln (zur Entdeckungsgeschichte und zu dem Prioritätsstreit siehe die Beschreibung Infinitesimalrechnung). Seit dem späten 19ten Jahrhundert (von wem eingeführt ?) wird die Ableitung in der heute üblichen, logisch strengen Weise als Grenzwert von Sekantensteigungen ("Differenzenquotienten") definiert.

Ausgangspunkt für die Definition der Ableitung ist die Näherung der Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung. Gesucht sei die Steigung einer Funktion x→f(x) in einem Punkt x₀. Man berechnet zunächst die Steigung der Sekante an f über einem endlichen Intervall [x₀,x₀ + Δx]:

Sekantensteigung = .

Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; sie wird darum auch Differenzenquotient genannt.

Mit der Kurznotation y für f(x) kann man abgekürzt

Sekantensteigung =

schreiben.

Differenzenquotienten sind aus dem täglichen Leben wohlbekannt, zu dem Beispiel als Durchschnittsgeschwindkeit:

"auf der Fahrt von Augsburg nach Flensburg war ich um 9h43 (x₀) am Kreuz Biebelried (Tageskilometerstand f(x₀)=198 km); um 11h04 (x₀ +Δx) war ich am Dreieck Hattenbach (Tageskilometerstand f(x₀ +Δx)=341 km); in 1h21' (Δx) habe ich somit 143 km (Δy) zurückgelegt; meine Durchschnittsgeschwindigkeit auf dieser Teilstrecke betrug somit 143km/1h21' = 105,9 km/h (Δy/Δx)."

Um eine Tangentensteigung (im genannten Anwendungsbeispiel also eine Momentangeschwindigkeit) zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die die Sekante gezogen wird, stets weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl Δx als auch Δy gegen Null; der Quotient Δy/Δx aber bleibt in dem Normalfall endlich. Auf diesem Grenzübergang beruht die folgende Definition:

Eine Funktion einer Variablen x heißt differenzierbar an der Stelle x₀, falls der Grenzwert

existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von f nach x an der Stelle x₀ und wird als

oder oder f'(x₀)

notiert.

Die Terme dx und dy heißen Differentiale. Sie stellen infinitesimal kleine Zahlenwerte dar (vergleiche Einleitung); in manchen Anwendungen (Kettenregel, Integration mancher Differentialgleichungen, Integration durch Substitution) rechnet man mit ihnen fast wie mit "normalen" Variablen. Ein Differential ist auch Teil der üblichen Notation für Integrale.

Die Notation einer Ableitung als Quotient zweier Differentiale wurde von Leibniz eingeführt; die Notation mit Apostroph (f´) geht auf Newton zurück, der einen Punkt über die abgeleitete Größe setzte, was in der Physik für Zeitableitungen bis heute üblich geblieben ist.

Eine Funktion ist exakt dann differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist (wenn also an jedem Punkt des Graphen von f eine eindeutige Tangente existiert).

Die Funktion der Differentialquotienten an allen Stellen von f bezeichnet man die Ableitungsfunktion f´ - oder kurz Ableitung - von f. f´(x₀) bezeichnet man die Ableitung von f an der Stelle x₀. Sie entspricht der Steigung des Graphen der Funktion an der Stelle x₀.

Ist die Ableitung stetig, dann heißt f stetig differenzierbar. Eine differenzierbare Funktion ist stets stetig. Die Umkehrung gilt jedoch überraschender Weise überhaupt nicht. Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein kann (wie die Betragsfunktion). Tatsächlich gibt es Funktionen, die überall stetig, aber nirgendswo differenzierbar sind (beispielsweise die Koch-Kurve). Der erste Mathematiker, der so eine Funktion konstruierte, war Bernhard Bolzano. 1861 erschien die erste Veröffentlichung mit so einer Funktion, geschrieben von Karl Weierstraß.

Wenn man die Ableitung einer Funktion berechnet, sagt man, man differenziert diese Funktion; diese Tätigkeit heißt Differentiation.

Um die Ableitung elementarer Funktionen (z. B. xⁿ, sin(x), ...) zu berechnen, hält man sich eng an die oben angegebene Definition, berechnet explizit einen Differenzenquotient und lässt dann Δ'x gegen Null gehen. Allerdings vollzieht der typische Mathematikanwender diese Berechnung ca. ein paar wenige Male in seinem Leben nach; später kennt er die Ableitungen der wichtigsten elementaren Funktionen auswendig und schlägt Ableitungen nicht ganz so geläufiger Funktionen in einem Tabellenwerk (z. B. Bronstein-Semendjajew) nach.

Ableitungen zusammengesetzter Funktionen (z. B. sin(2x), x²exp(-x²), ...) führt man mit Hilfe von Ableitungsregeln (siehe unten) auf die Differentiation elementarer Funktionen zurück.

Gesucht sei die Ableitung von f(x) = x³. Dann berechnet man den Differenzenquotienten als

und erhält in dem Limes Δx→0 die Ableitung

f(x) = |x| ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar, denn es gilt:

Wenn x > 0 gilt f(x)= x und damit

und wenn x < 0 gilt f(x) = -x und damit

Da der linkseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, existiert kein beidseitiger Grenzwert. f ist somit an der betrachteten Stelle nicht differenzierbar (an allen anderen Stellen aber sehr wohl!).

Betrachtet man den Graphen von f, so kommt man zu der Erkenntnis, dass der Begriff der Differenzierbarkeit anschaulich bedeutet, dass der zugehörige Graph keine "Knicke" enthält.

Beachte: Selbst wenn f überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein.

Zum Beispiel ist die Funktion in jedem Punkt differenzierbar, aber die Ableitung ist in dem Punkt 0 nicht stetig.

Die Ableitungen einiger elementarer Funktionen sind in der Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen angegeben.

Mit den folgenden Regeln kann man die Ableitung zusammengesetzter Funktionen auf Ableitungen einfacherer Funktionen zuückführen. Seien f, g und h (im Definitionsbereich) differenzierbare, reelle Funktionen, n und a reelle Zahlen, dann gilt:

• konstante Funktion:
• Potenzregel: , falls n ≠ 0
• Summenregel:
• Differenzregel:
• Faktorregel:
• Produktregel:
• Quotientenregel:
• Kettenregel:
• Umkehrregel : Ist f eine, an der Stelle x₀ differenzierbare, bijektive Funktion mit f '(x₀)≠0, und ihre Umkehrfunktion f ^-1 bei f(x₀) differenzierbar, dann gilt:

(Spiegelt man einen Punkt P des Graphen von f an der 1. Mediane und erhält damit P* auf f ^-1, so ist die Steigung von f ^-1 in P* der Kehrwert der Steigung von f in P)

• Ableitung der Potenzfunktion: um f(x) = g(x)^h(x) abzuleiten, erinnert man sich, dass Potenzen mit reellen Exponenten auf dem Umweg über die Exponentialfunktion definiert sind: f(x) = exp(h(x)ln(g(x))). Anwendung der Kettenregel und - für die innere Ableitung - der Produktregel ergibt

.

Ist die Ableitung einer Funktion f wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von f als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte, etc. Ableitungen definiert werden. Eine Funktion kann dementsprechend einfach differenzierbar, zweifach differenzierbar, etc. sein. Eine beliebig häufig differenzierbare Funktion wird glatte Funktion genannt. Jede analytische Funktion ist glatt, aber nicht umgekehrt, wie das in dem Artikel Taylorreihe gegebene Beispiel einer nicht analytischen glatten Funktion zeigt.

Mehrfache Ableitungen können auf drei verschiedene Weisen geschrieben werden:

, , ...

Naheliegenderweise wird die Multi-Apostroph-Schreibweise bei niedrigen, die eine oder andere Zahlen-Schreibweise bei hohen Ableitungen bevorzugt. Für die formale Nennung beliebiger Ableitungen f⁽ⁱ⁾ (zum Beispiel für das Rechnen mit Taylorreihen) legt man außerdem fest, dass f⁽¹⁾=f´ und f⁽⁰⁾=f.

Die zweite Ableitung kann geometrisch als die Krümmung eines Graphen interpretiert werden.

Die zweite Ableitung hat zahlreiche physikalische Anwendungen. Zu dem Beispiel ist die erste Ableitung des Orts s(t) nach der Zeit t die Momentangeschwindigkeit, die zweite Ableitung die Beschleunigung. Das Newtonsche Bewegungsgesetz

verknüpft die Beschleunigung a eines Körpers mit seiner Masse m und der auf ihn einwirkenden Kraft F. Das Grundproblem der Mechanik lautet darum, aus einer gegebenen Beschleunigung auf die Ortsfunktion eines Körpers zurückzuschließen. Diese Aufgabe, eine Umkehrung der zweifachen Differentiation, hat die mathematische Gestalt einer Differentialgleichung zweiter Ordnung; die mathematische Schwierigkeit dieses Problems rührt daher, dass Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren sind, die in dem allgemeinen nicht in die gleiche Richtung zeigen, und dass die Kraft - je nach Anwendungsfall - von der Zeit t oder/und vom Ort s abhängen kann.

Wenn Politiker sich erfreut über den "Rückgang des Anstiegs der Arbeitslosenzahl" äußern, dann stellen sie auf die zweite Ableitung (Änderung des Anstiegs) ab, um die unangenehme Aussage der ersten Ableitung (Anstieg der Arbeitslosenzahl) zu relativieren.

Bei der Behandlung eines Funktionsgraphen auf seines Merkmalen (Kurvendiskussion) spielen die Ableitungsfunktionen eine entscheidende Rolle, da sie die Steigung des Graphen beschreiben. Dies sei am Beispiel der Funktion mit der Gleichung

erläutert. Die Abbildung zeigt den Verlauf von f(x), f '(x) und f ''(x).

Eine Steigung 0, d.h. f '(x)=0, kennzeichnet eine waagerechte Tangente bei f(x). Dies kann einen Hochpunkt (lokales Maximum), einen Tiefpunkt (lokales Minimum) oder einen Sattelpunkt bedeuten. In dem Beispiel ist

f '(x) wird 0 bei x=1 und x=3.

Die zweite Ableitung f ''(x) beschreibt die Steigung von f '(x), also die Änderung der Steigung von f(x). Ist f ''(x)>0, so ändert sich f '(x) von negativen zu positiven Werten, also liegt ein Tiefpunkt von f(x) vor. In dem Falle f ''(x)<0 ändert sich die Steigung vom positiven zu negativen Werten, das bedeutet eine Hochpunkt von f(x). In dem Beispiel ist f ''(1) = -2 und f ''(3) = 2.

Ist f ''(x)=0, so hat f '(x) hier eine waagerechte Tangente und die Steigung von f(x) ändert sich an dieser Stelle nicht. Wenn f '(x) hier einen Hoch- oder Tiefpunkt besitzt (also f '''(x) hier nicht 0 ist), dann bedeutet das einen Wendepunkt von f(x). In dem Beispiel ist

und wird 0 bei x=2. Zugleich ist

f'''(x) = 2

und daher ungleich 0.

Einen Wendepunkt mit zugleich waagerechter Tangente bezeichnet man einen Sattelpunkt. Für ihn gilt demnach f '(x)=0 und f ''(x)=0, wie in dem Beispiel der Funktion mit der Gleichung

f(x) = x³

an der Stelle x=0.

Allerdings ist das kein hinreichendes Kriterium, es kann auch f '(x)=0 und f ''(x)=0 werden, ohne dass ein Wendepunkt auftritt, wie in dem Beispiel

f(x) = x⁴

Erst wenn f ''' nicht 0 ist, ist ein Wendepunkt erwiesen.

Eine vollständige Kurvendiskussion umfasst weitere Behandlungen, siehe Kurvendiskussion.

Alle vorigen Ausführungen legten eine Funktion in einer Variablen (also eine -Funktion) zu Grunde. Hingegen können Funktionen in mehreren Variablen (also -Funktionen) nach jeder unabhängigen Variable abgeleitet werden. So lassen sich für eine Funktion in n Variablen insgesamt n so genannte partielle Ableitungen errechnen:

Die einzelnen partiellen Ableitungen einer Funktion lassen sich auch gebündelt als Nablavektor anschreiben.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Satz von Rolle
Satz von Schwarz

Siehe auch: Differentialgleichung

Die wesentliche Leistung von Leibniz war die Erkenntnis, dass Integration und Differentiation zusammenhängen. Diese formulierte er in dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt.